Question

已知：如图△ABC中，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O与点F，点E在AC上，且∠EBC=∠BAC，BE交⊙O于点D．
（1）求证：AB=AE；
（2）若AB=10，cos∠EBC=，求线段BE和BC的长．

Answer 1

（1）证明：
连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°=∠ADE，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵BC切⊙O于B，
∴∠ABD+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠BAD，
∵∠EBC=∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED，
∴AB=AE．

（2）解：∵∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC=，
∴在Rt△BAD中，cos∠BAD==，
∴AD=4，
由勾股定理得：BD=2，
∵△ABD≌△AED，
∴BD=DE，
∴BE=2BD=4，
过E作EH⊥BC于H，
则EH∥AB，
∵cos∠EBC=，BE=4，
∴BH=BE•cos∠EBC=8，
由勾股定理得：EH==6，
∵EH∥AB，
∴△CHE∽△CBA，
∴=
∴=，
∴CH=，
∴BC=8+=．
分析：（1）连接AD，求出∠EBC=∠BAD，推出∠BAD=∠EAD，证出△ABD≌△AED即可．
（2）根据∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC=求出AD，根据勾股定理求出BD，即可求出答案，求出EH，BH，根据相似求出CH，即可求出答案．
点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．