Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．

（1）求这条抛物线的解析式及直线的解析式；

（2）段上一动点（点不与点、重合），过点向轴引垂线，垂足为，设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；

（3）在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2），的取值范围是；（3）或或

【解析】

（1）将A、B俩点代入抛物线解析式即可求出M的坐标，再设直线的解析式为， 代入M的值计算即可.

（2）由已知轴，，可得点的坐标为，再根据即可求得t的值.

（3）存在，根据等腰三角形的性质，分情况进行解答即可.

解：（1）∵抛物线与轴交于、两点，

∴，

解得：，

∴二次函数的解析式为，

∵，

∴

设直线的解析式为，

则有

，

解得：，

∴直线的解析式为；

（2）∵轴，，

∴点的坐标为，

∴，

，

，

∵为线段上一动点（点不与点、重合），

∴的取值范围是．

（3）线段上存在点，，使为等腰三角形；

，，，

①当时，，

解得，（舍去），

此时，

②当时，，

解得，（舍去），

此时，

③当时，

解得，此时．