Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣3，0）和点B（2，0）．直线（为常数，且）与BC交于点D，与轴交于点E，与AC交于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AE，求为何值时，△AEF的面积最大；

（3）已知一定点M（﹣2，0）．问：是否存在这样的直线，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， ，D(,).

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）由题意可得点E的坐标为（0，h），点F的坐标为（ ，h），根据S△AEF=OEFE=h=-（h-3）2+．利用二次函数的性质即可解决问题．

（3）分三种情形，分别列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）将A(-3，0)，点B(2，0)两点代入抛物线方程得，

解得，

所以抛物线的解析式为.

（2）如图所示，根据抛物线方程可知点C(0，6),

又∵A(-3，0)

∴直线AC的解析式为，

∵点F的纵坐标为，所以其横坐标为，即F(,)可得EF=，

∴

∴当=3时，△AEF的最大面积为.

（3）∵B(2，0), C(0，6)

∴直线BC的解析式为，

∵点D的纵坐标为，所以其横坐标为，即D(,)

分三种情况讨论：

①当MD=BD时，点D应该在BM的垂直平分线y轴上，而﹤6∴点D不在y轴上，所以（舍）

②当MD=BM=4时，过D点做DQ⊥x轴于点Q, ∴MQ=+2=4-,DQ=

在中∴ 解得=0（舍）或=

∴D(,)

③当BD=BM=4时，过D点做DQ⊥x轴于点Q, ∴BQ=2-=,DQ=

在中∴，解得

∴D(,)