Question

（12分）已知关于x的方程.

（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（3分）

（2）若关于x的二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式。（4分）

（3）在同一直角坐标系xOy中，画出（2）中所有函数图象，结合图象回答问题：当直线与（2）中的这个函数图象只有两个交点时，求b的取值范围。（5分）

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）方程分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论：当m=0时，为一元一次方程，方程有实根，当m≠0时，只要证明△≥0即可；（2）求出二次函数 的图象与x轴两交点的坐标，根据两交点间的距离为2得以m为未知数的方程，解方程得m的值即可；（3）画出函数的图像，根据图像可得结论.

试题解析：

（1）当m=0时，为一元一次方程，方程有实根，

当m≠0时，因为△≥0，所以必有实根，综上所述，无论m为何值，方程恒有实根；

（2）令y=0时，，解得，，因为两交点间的距离为2，所以 ，解得或，所以

（3）图像略：

根据图象可得：b＞或b＜或b=2时，y=x+b与（2）中函数只有两个公共点

考点：1.一元二次方程；2.求二次函数的解析式；3.二次函数图象的应用.