Question

已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD，求证：△CDE为等腰直角三角形．

Answer 1

解：连接AC、BC，
由圆周角定理得∠CBE=∠CAD，
∵CO⊥AB，
∴点C是弧ABC的中点，
∴AC=BC，
又∵BE=AD
∴△ACD≌△BCE，
∴CD=CE．∠ADC=∠BEC，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BEC=∠DCE+∠CDB，∠ADC=∠ADB+∠CDB，
∴∠DCE=∠ADB=90°，
即△DCE是等腰直角三角形．
分析：连接AC、BC，证△ACD≌△BCE和∠BCE=∠ADB=90°即可．
点评：本题利用了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，等腰直角三角形的判定求解．