Question

已知实数a，b，c满足：a²+b²+c²+2ab=1，ab(a2+b2+c2)=

1

8

．又α，β为方程（a+b）x²-（2a+c）x-（a+b）=0的两个实根，试求

α3+β3

α+β

的值．

Answer 1

分析：把a²+b²+c²，2ab分别看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系解答则可．

解答：解：∵a²+b²+c²+2ab=1，ab(a2+b2+c2)=

1

8

，
∴a²+b²+c²，2ab为方程x²-x+

1

4

=0的二根，
∴a²+b²+c²=2ab=

1

2

，
由a²+b²+c²=2ab得（a-b）²+c²=0，
∴

a=b= 1 2 c=0

或

a=b=- 1 2 c=0

把两组值代入原方程（a+b）x²-（2a+c）x-（a+b）=0得到的方程相同．
即x²-x-1=0，
∴

α3+β3

α+β

=α²+β²-αβ=（α+β）²-3αβ=4．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．