Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为．

（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；

（2）若点G的坐标为（0，﹣3），求该抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（，m）；（2）；（3）P（，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）由折叠的性质得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，设CD=x，则DF=DB=2m﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；

（2）由△OEG∽△CDG，即可求出m的值，从而得出C、D的坐标，作FH⊥CD于H，则△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（3）由直角三角形斜边上的中线性质得出MF=CD=EA，点P与点F重合，得出点P的坐标；由抛物线的对称性得另一点P的坐标即可．

试题解析：（1）根据折叠的性质得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，设CD=x，则DF=DB=2m﹣x，根据勾股定理得：，即，解得：x=，∴点D的坐标为：（，m）；

（2）∵四边形OABC是矩形，∴OA=2m，OA∥BC，∴∠CDE=∠AED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD=，∴AE=CE=，∴OE=OA﹣AE=，∵OA∥BC，∴△OEG∽△CDG，∴，即，解得：m=2，∴C（0，2），D（，2），作FH⊥CD于H，如图1所示：则∠FHC=90°=∠DFC，∵∠FCH=∠FCD，∴△FCH∽△DCF，∴，即，∴FH=，CH=，=，∴F（，），把点C（0，2），D（，2），F（，）代入得：，解得：，，，∴抛物线的解析式为：；

（3）存在；理由如下：如图2所示：∵CD=CE，CE=EA，∴CD=EA，∵线段CD的中点为M，∠DFC=90°，∴MF=CD=EA，点P与点F重合，∴点P的坐标为：（，）；

由抛物线的对称性得另一点P的坐标为（，）；

∴在线段CD上方的抛物线上存在点P，使PM=EA，点P的坐标为：（，），或（，）．