Question

已知：如图，在平面直角坐标系内，直线y=

3

4

x上有一点A，AD⊥x轴于D，且AD=3，C是x轴上的一点，AC⊥AO，长度等于OD的线段EF在x轴上沿OC方向以1/s的速度向点C运动（运动前EF和OD重合，当F点与C重合时停止运动，包括起点、终点），过E，F分别作OC的垂线交直角边于点P、点Q，连接线段PD，QD，PQ，PQ交线段AD于点M，若设EF运动的时间为t（s）．
（1）写出A点坐标

 

．PE=

 

（用含t的代数式表示线段），其中自变量t的取值范围为

 

；
（2）是否存在t的值，使得线段PD⊥QD？若存在，请求出相应的t的值，若不存在，请说明理由；
（3）①当t=

4

5

秒时，线段AM=

 

；
②求线段AM关于自变量t的函数解析式，并求出AM的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据直线方程和点的纵坐标可以求出横坐标，进而求出点的坐标；找到终点位置，可以知道t的极限值．
（2）把结论当做已知条件，根据勾股定理或者三角形相似列出方程式，找到相应的关系式，验证是否在定义域内即可．
（3）可以有多种做法，例如S_△APQ面积的多种求法、△PMH∽△PTQ等都可以列出方程式，根据定义域可以知道最大值．

解答：解：（1）∵AD⊥x轴于D，且AD=3点A过直线y=

3

4

x
∴代入函数式解得A点坐标为（4，3）
解法①由题意得P点横坐标为t，过直线y=

3

4

x，所以纵为坐标

3

4

t，即PE=

3

4

t；
解法②∵AP⊥AQ，AM⊥EF
易证△AOD∽△ADC∽△AOC∽△OPE∽△CQF，且三边之比都为3：4：5，
求得PE=

3

4

t，DC=

9

4

．
∴t的取值范围为0≤t≤

9

4

；

（2）不存在t的值使PD⊥QD，理由如下：
方法一（相似）
∵OE=DF=t，∴FC=

9

4

-t
∴QF=

4

3

(

9

4

-t)
若PD⊥QD，易证△PED∽△DQF
则

PE

DF

=

ED

QF

∴

3 4 t

t

=

4-t

4 3 ( 9 4 -t)

4-t=

9

4

-t
4=

9

4

这是不可能的，
∴不存在t的值使PD⊥QD
方法二（勾股定理的逆定理）
∵AP²+AQ²=（5-

5

4

t）²+（

5

3

t）²=25-

50

4

t+

25

16

t²+

25

9

t²（2分）
PD²+QD²=（PE²+DE²）+（DF²+FQ²）=（

3

4

t）²+（4-t）²+t²+（3-

4

3

t）²（1分）
∴AP²+AQ²≠PD²+QD²
∴PD⊥QD不可能（2分）
∴不存在t的值使PD⊥QD．

（3）①

4

3

解法如下，只要把当t=

4

5

秒代入②中表达式
②方法一（面积法）：
∵AP⊥AQ，AM⊥EF
∴S_△APQ=

1

2

AP×AQ=

1

2

AM×ED+

1

2

AM×DF=

1

2

AM×EF
∴AM=

AP•AQ

EF

=

(5- 5 4 t)• 5 3 t

4

=

25 3 t- 25 12 t2

4

=-

25

48

t+

25

12

t²
=-

25

48

（t-2）²+

25

12

∴当t=2秒时，AM最大值为

25

12

．
方法二（相似）
过P作PH⊥QF于T，交AD于H．
QT=3-

4

3

t_-

3

4

t=3_-

25

12

t
∵△PMH∽△PTQ
∴

PH

PT

=

MH

TQ

即

4-t

4

=

MH

3- 25 12 t

∴MH=-

25

48

t²-

34

12

t+3
∴AM=AD-HD-MH=-

25

48

t²+

25

12

t
∴当t=2秒时，AM最大值为

25

12

方法三（函数法）
设直线PQ解析式为y=kx+b．
∵P（t，

3

4

t），Q（t+4，3-

4

3

t）
∴

3 4 t=kt+b 3- 4 3 t=k(t+4)+b

解得

k= 3 4 - 25 48 t b= 25 48 t2

∴y=（

3

4

-

25

48

t）x+

25

48

t2
∵M_x=4
∴M_y=（

3

4

-

25

48

t）×4+

25

48

t2=3-

25

12

t+

25

48

t2=MD
∴AM=AD-MD
=3-（3-

25

12

t+

25

48

t2）
=-

25

48

t²+

25

12

t
∴当t=2秒时，AM最大值为

25

12

．

点评：本题是函数与各种图形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题，在平常的练习中多加注意．每道题都有不同的做法，根据不同的知识点可以有很多种思路，尝试着多种方法做题可以很好的巩固所学知识．