题目内容
如图，已知正方形ABCD与正方形EFGH的边长分别是
和
，它们的中心O1，O2都在直线l上，AD∥l，EG在直线l上，l与DC相交于点M，ME=7-2
，当正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕O1以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．（1）在开始运动前，O1O2=______；
（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD停止旋转，这时AE=______，O1O2=______；
（3）当正方形ABCD停止旋转后，正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
【答案】分析：（1）开始运动前Q1O2=O1M+ME+O2E，O1M=
AD=2
，O2E=
EH=2，因此O1O2=9．
（2）当运动3秒后，A在直线l上，O1A=
AD=4，O1E=7-3=4，因此O1E=O1A，A、E重合，即AE=0．
O1O2=O1A+O2E=4+2=6．
（3）本题要分四种情况：
①当0≤x＜4时，图1，重合的小正方形对角线AE=x，因此y=
x2．
②当4≤x＜8时，图2，正方形EFGH在正方形ABCD内部，重合部分的面积就是正方形EFGH的面积．
③当8≤x＜12时，图3，参照①的解法．
④当x≥12时，此时两正方形不重合，因此y=0．
解答：解：（1）9．
（2）0，6
（3）当正方形ABCD停止运动后，正方形EFGH继续向左平移时，与正方形ABCD重叠部分的形状也是正方形．
重叠部分的面积y与x之间的函数关系应分四种情况：
①如图1，当0≤x＜4时，
∵EA=x，
∴y与x之间的函数关系式为y=
．
②如图2，当4≤x＜8时，y与x之间的函数关系式为y=（2
）2=8．
③如图3，当8≤x＜12时，
∵CG=12-x，
∴y与x之间的函数关系式为y=
=
x2-12x+72．
④当x≥12时，y与x之间的函数关系式为y=0．
点评：本题为运动性问题，考查了正方形的性质、图形的旋转、二次函数的应用等知识．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
AD=2，O2E=EH=2，因此O1O2=9．（2）当运动3秒后，A在直线l上，O1A=
AD=4，O1E=7-3=4，因此O1E=O1A，A、E重合，即AE=0．O1O2=O1A+O2E=4+2=6．
（3）本题要分四种情况：
①当0≤x＜4时，图1，重合的小正方形对角线AE=x，因此y=
x2．②当4≤x＜8时，图2，正方形EFGH在正方形ABCD内部，重合部分的面积就是正方形EFGH的面积．
③当8≤x＜12时，图3，参照①的解法．
④当x≥12时，此时两正方形不重合，因此y=0．
解答：解：（1）9．
（2）0，6
（3）当正方形ABCD停止运动后，正方形EFGH继续向左平移时，与正方形ABCD重叠部分的形状也是正方形．
重叠部分的面积y与x之间的函数关系应分四种情况：
①如图1，当0≤x＜4时，
∵EA=x，
∴y与x之间的函数关系式为y=
．②如图2，当4≤x＜8时，y与x之间的函数关系式为y=（2
）2=8．③如图3，当8≤x＜12时，
∵CG=12-x，
∴y与x之间的函数关系式为y=
=x2-12x+72．④当x≥12时，y与x之间的函数关系式为y=0．
点评：本题为运动性问题，考查了正方形的性质、图形的旋转、二次函数的应用等知识．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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