Question

（2012•郑州模拟）如图，在矩形ABCD中，点M是AD的中点，AD=4

2

，CD=2

2

，直角∠PME绕点M进行旋转，其两边分别和BC、CD交于点P和点E，连接PE交MC于点Q．
（1）判断线段MP、ME的数量关系，并进行证明；
（2）动点P、E分别在线段BC和CD上运动时，设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中，当y取最小值时，判断PE与BM的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点M作MF⊥BC于点F，先判断出四边形CDMF是正方形，根据正方形的性质求出MD=MF，∠DMF=90°，再根据同角的余角相等求出∠DME=∠FMP，然后利用“角边角”证明△MFP和△MDE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）利用勾股定理列式求出MC的长，同理求出MB，然后判断出△MBC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠MBC=∠MCB=45°，再表示出QC，根据旋转的性质求出BP=EC，然后根据S_△PCQ+S_△CEQ=S_△PCE列式整理即可得解；
（3）利用二次函数的最值问题求出y取最小值时的x的值2

2

，从而判断出点P、Q分别为BC、CM的中点，再根据三角形的中位线定理解答即可．

解答：解：（1）MP=ME．
理由如下：过点M作MF⊥BC于点F，
在矩形ABCD中，点M是AD的中点，AD=4

2

，CD=2

2

，
∴四边形CDMF是正方形，
∴MD=MF，∠DMF=90°，
∵∠PME=90°，
∴∠DME=∠FMP，
∵在△MFP和△MDE中，

∠DME=∠FMP MD=MF ∠D=∠MFP=90°

，
∴△MFP≌△MDE（ASA），
∴MP=ME；

（2）在△MDC中，MC²=MD²+CD²=（2

2

）²+（2

2

）²=16，
∴MC=4，
同理MB=4，
又∵BC=4

2

，
∴△MBC是等腰直角三角形，∠MBC=∠MCB=45°，
依题意，得QC=4-y，
由旋转的性质可知，BP=EC=4

2

-x，
在△PEC中，由S_△PCQ+S_△CEQ=S_△PCE可得，

1

2

x•（4-y）sin45°+

1

2

（4

2

-x）•（4-y）sin45°=

1

2

x•（4

2

-x），
整理得，y=

1

4

x²-

2

x+4；

（3）∵y=

1

4

x²-

2

x+4=

1

4

（x-2

2

）²+2，
∴当x=2

2

时，y有最小值2，
此时，点P、Q分别为BC、CM的中点，
∴PQ为△BCM的中位线，
∴PQ∥BM，
即：PE∥BM．

点评：本题是四边形综合题型，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，二次函数的最值问题，作辅助线把矩形分成两个正方形并构造出全等三角形是解题的关键．