Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.

活动一：

  如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒.

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：          .(填“能”或“不能”)

（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1.

①=_________度；

②若记小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…） 求出此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用含n的式子表示）.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

活动二：

如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂₌AA₁.

数学思考：

（3）若已经摆放了3根小棒，₁ =_________，₂=________， ₃=________；（用含的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解: （１）能．                             ………………1分

     （２）①22.5°.                          ………………2分

           ②方法一

∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

             ∴A₁A₃=，AA₃=.

             又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆，

∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，

∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆

             ∴a₂=A₃A₄=AA₃=，            ………………3分

               a₃=AA₃+ A₃A₅=a₂+A₃A₅.          

∵A₃A₅=a₂，

             ∴a₃=A₅A₆=AA₅=.  ………………4分

方法二

∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

             ∴A₁A₃=，AA₃=.

             又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆.

∴∠A₂A₃A₄=∠A₄A₅A₆=90°，∠A₂A₄A₃=∠A₄ A₆A₅，

             ∴△A₂A₃A₄∽△A₄A₅A₆，

             ∴，∴a₃=.    ………………4分

                                ………………5分

（３）                          ………………6分

                                      ………………7分

                                   ………………8分

 

（４）由题意得:

       ∴.                  ………………10分

 

 

解析:略