Question

如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF平分∠ABC，AF∥DC，连接AC，CF．
求证：（1）AF=CF；（2）CA平分∠DCF．

Answer 1

分析：（1）根据BF平分∠ABC?∠ABF=∠CBF，再加上AB=BC，BF=BF就可以推出△ABF≌△CBF，依据全等三角形对应边相等的性质可以推出AF=CF；
（2）根据（1）中所得出的结论可以推出∠FCA=∠FAC；依据平行线的性质可以得出内错角∠FAC、∠DCA相等，等量代换后，就可推出CA平分∠DCF．

解答：证明：如图．
（1）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．（1分）
在△ABF与△CBF中，

AB=CB ∠ABF=∠CBF BF=BF

∴△ABF≌△CBF（SAS）．（2分）
∴AF=CF．（3分）

（2）∵AF=CF，
∴∠FCA=∠FAC．（4分）
∵AF∥DC，
∴∠FAC=∠DCA．
∴∠FCA=∠DCA，即CA平分∠DCF．（5分）

点评：主要考查全等三角形的判定定理，全等三角形的性质，根据条件很容易就可得出AF=CF，继而推出∠FCA=∠FAC，结合两直线平行内错角相等的性质，很容易就可以得出（2）中的结论．