Question

在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点．求证：PD丄QD．

Answer 1

证明：如图，设AQ交CP于E点，连ED，EB，PQ，
∵AD为斜边BC上的高，AE⊥CP，
∴Rt△ACD∽Rt△BCA，Rt△ACE∽Rt△PCA，
∴AC²=CD•CB，AC²=CE•CP，
∴CD•CB=CE•CP，
∴△CDE∽△CPB，
∴∠CED=∠CBP，
∴B，D，E，P四点共圆，
∴∠1=∠5+∠6，∠5=∠4，
又∵BQ⊥AB，
∴∠QEP=∠PBQ=90°，
∴B，Q，E，P四点共圆，
∴∠1=∠2+∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠6，
∴D，Q，B，P四点共圆，
而∠PBQ=90°，
∴∠PDQ=90°，
即PD⊥DQ．
分析：设AQ交CP于E点，连ED，EB，PQ，由AD为斜边BC上的高，AE⊥CP，易得Rt△ACD∽Rt△BCA，Rt△ACE∽Rt△PCA，得到AC²=CD•CB，AC²=CE•CP，则CD•CB=CE•CP，得到△CDE∽△CPB，有∠CED=∠CBP，得到B，D，E，P四点共圆，则有∠1=∠5+∠6，∠5=∠4；又
B，Q，E，P四点共圆，得∠1=∠2+∠3，∠2=∠4，所以有∠3=∠6，得到D，Q，B，P四点共圆，即可得到∠PDQ=90°．
点评：本题考查了四点共圆的判定与性质．也考查了三角形相似的判定与性质．