Question

△ABC中，G为重心，l是过G的一条动直线，且分别交AB、AC于点E、F，设S_△ABC=1，问l在何处时，所截得的△AEF面积取到最大值或最小值．

Answer 1

解：如图所示，
连接AG并延长交BC于D，分别过A、B、D、C作l的垂线，垂足分别为H、K、P、Q，则BK∥AH∥PD∥CQ，
∴，且，
∴，
又G为△ABC的重心，
∴BD=DC，
∴BK+CQ=2DP，
∴．
∵．
设（0≤x≤1），
则．
而2≤（当时，右边取等号，即最大值；当x=0或1时，左边取等号，即最小值）
∴．
即当时，△AEF面积取到最大值；当x=0或1时，△AEF面积取到最小值．
分析：如图所示，连接AG并延长交BC于D，分别过A、B、D、C作l的垂线，垂足分别为H、K、P、Q，
则．由垂直得平行的四条直线，根据平行线的性质、梯形中位线的性质求得，BK+CQ=2DP，设（0≤x≤1），则，讨论x的取值即可．
点评：此题考查了重心的概念和性质、平行线的判定和性质、梯形中位线定理等知识点，难度大，作辅助线也很关键．