Question

（2011•常州）在平面直角坐标系XOY中，直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P．点E为直线l₂上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l₁相交于点F．

（1）若点E与点P重合，求k的值；

（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；

（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）若点E与点D重合，则k=1×2=2；

 

（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，

∵PF⊥PE，

∴S_△FPE=PE•PF=（﹣1）（k﹣2）=k²﹣k+1，

∴四边形PFGE是矩形，

∴S_△PFE=S_△GEF，

∴S_△OEF=S_矩形OCGD﹣S_△DOF﹣S_△EGD﹣S_△OCE=•k﹣（k²﹣k+1）﹣k=k²﹣1

∵S_△OEF=2S_△PEF，

∴k²﹣1=2（k²﹣k+1），

解得k=6或k=2，

∵k=2时，E、F重合，

∴k=6，

∴E点坐标为：（3，2）；

 

（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF，

①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，

∵△FHM∽△MBE，

∴=，

∵FH=1，EM=PE=1﹣，FM=PF=2﹣k，

∴=，BM=，

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，

∴（1﹣）²=（）²+（）²，

解得k=，此时E点坐标为（，2），

 

②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，=，

∵FQ=1，EM=PF=k﹣2，FM=PE=﹣1，

∴=，BM=2，

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM²=EB²+MB²，

∴（k﹣2）²=（）²+2²，解得k=或0，但k=0不符合题意，

∴k=．

此时E点坐标为（，2），

∴符合条件的E点坐标为（，2）（，2）．

解析:略