Question

如图，矩形内放置八个半径为1的圆，其中相邻两圆都相切，并且左上角和右下角的两圆与矩形的两边都相切，其他的圆与矩形的一边相切．则该矩形的面积为

 

．

Answer 1

分析：要求矩形的面积，想法求出矩形的邻边长是关键，解决这个关键的问题是利用圆与圆相切和圆与直线相切的性质．利用相切的两圆圆心构造正三角形，利用正三角形的高的特殊性就可以求出矩形的邻边长而解决问题．

解答：解：如图，连接圆心A、B、C，过点C作ED⊥AB于点F，交矩形两边分别为D、E，
则△ABC为正三角形，ED是矩形的短边长，
由勾股定理可知CF=

3

，
∴ED=2+

3

，
由圆外切可知CN=7，CM=2，
∴MN=9，
∴矩形的面积为：9×（2+

3

）=18+9

3

．
故答案为：18+9

3

．

点评：本题考查了两圆相切的性质，等边三角形的性质及圆与直线相切的性质及矩形面积的计算．