Question

（2012•莆田质检）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，DG∥AB交BC于点G，CF平分∠BCD交DG于点F，BF的延长线交DC于点E．
（1）求证：△BFC≌△DFC；
（2）在不添加辅助线的情况下，在图中找出一条与DE相等的线段，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）首先根据角平分线的性质可得∠BCF=∠DCF，再由条件DC=BC，CF=CF即可证明△BFC≌△DFC；
（2）①BG=DE，证明△BFG≌△DFE即可；②AD=DE，首先证明△BFG≌△DFE，根据全等三角形的性质可得DE=BG，再证明四边形ABGD是平行四边形，可得AD=BG，进而得到DE=AD．

解答：（1）证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
在△DCF和△BCF中
∵

DC=BC ∠DCF=∠BCF CF=CF

，
∴△BFC≌△DFC（SAS）；

（2）①BG=DE，
证明：∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，∠CBF=∠CDF，
又∵∠BFG=∠DFE，
∴△BFG≌△DFE（ASA），
∴BG=DE；
②AD=DE，
证明：∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，∠CBF=∠CDF，
又∵∠BFG=∠DFE，
∴△BFG≌△DFE，
∴BG=DE，
∵AD∥BC，DG∥AB，
∴四边形ABGD是平行四边形，AD=BG，
∴AD=DE．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决此题的关键是证明△BFC≌△DFC，△BFG≌△DFE．