题目内容
（2012•龙岩模拟）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点P是边BC（含端点）上的动点，过P作PR⊥AB，垂足为点R，过R作RS⊥BC，垂足为点S．在线段RS上，存在一点T，若以PT为直角边作等腰直角三角形PTF，其顶点F恰好落在AC上．（1）求证：△PRS∽△ABC；
（2）探索并证明线段TS与线段CP的数量关系；
（3）假设BC=3，CP=x，等腰直角三角形PTF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y有最大值和最小值．
分析：（1）首先由PR⊥BC，RS是∠PRB的平分线，易证△ABC是等腰直角三角形，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△PRS∽△ABC；
（2）根据AAS即可证得△PTS≌△FPC，又由全等三角形的对应边相等，即可证得TS=CP；
（3）根据题意分别求得：BS，PS，ST，CP的值，又由勾股定理即可求得等腰Rt△PRB的面积y=
（x-
）2+
，然后根据函数的性质和自变量的范围求出y的最大和最小值．
（2）根据AAS即可证得△PTS≌△FPC，又由全等三角形的对应边相等，即可证得TS=CP；
（3）根据题意分别求得：BS，PS，ST，CP的值，又由勾股定理即可求得等腰Rt△PRB的面积y=
| 5 |
| 8 |
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 10 |
解答：
（1）证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵PR⊥BC，
∴∠PRS=∠BRS=45°，
∴∠RPS=45°
∴∠PRS=45°=∠B，∠SPR=∠A，
∴△PRS∽△ABC；
（2）解：线段TS与线段CP的数量关系是相等，即TS=PC．理由如下：
∵△PTF是等腰直角三角形，∠FPT=90°，
∴PT=PF．
又∵∠C=∠PST=90°，
∴∠TPS=∠PFC，∠PTS=∠FPC（同角的余角相等）．
∵在△PTS与△FPC中，
∴
，
∴△PTS≌△FPC（ASA），
∴TS=PC；
（3）解：由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS=BS，
∴BS+PS+PC=3，∴PS=
=
．
由（2）知：TS=PC=x，
∴等腰Rt△PTF的面积y=
PT•PF=
PT2=PS2+ST2=
×[（
）2+x2]=
x2-
x+
=
（x-
）2+
．
根据二次函数的性质，当x=
时，y最小值=
．
如图2，当点T运动与R重合时，PC=TS为最大．
易证等腰Rt△PCF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PC=
BC=1．
y最大值=1．
（1）证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°．
∵PR⊥BC，
∴∠PRS=∠BRS=45°，
∴∠RPS=45°
∴∠PRS=45°=∠B，∠SPR=∠A，
∴△PRS∽△ABC；
（2）解：线段TS与线段CP的数量关系是相等，即TS=PC．理由如下：
∵△PTF是等腰直角三角形，∠FPT=90°，
∴PT=PF．
又∵∠C=∠PST=90°，
∴∠TPS=∠PFC，∠PTS=∠FPC（同角的余角相等）．
∵在△PTS与△FPC中，
∴
|
∴△PTS≌△FPC（ASA），
∴TS=PC；
（3）解：由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS=BS，
∴BS+PS+PC=3，∴PS=
| 3-PC |
| 2 |
| 3-x |
| 2 |
由（2）知：TS=PC=x，
∴等腰Rt△PTF的面积y=
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3-x |
| 2 |
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| 9 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 3 |
| 5 |
| 9 |
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根据二次函数的性质，当x=
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 10 |
如图2，当点T运动与R重合时，PC=TS为最大．
易证等腰Rt△PCF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PC=
| 1 |
| 3 |
y最大值=1．
点评：此题考查了全等三角形与相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识的综合应用．题目难度适中，注意数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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