Question

如图，已知直线y=x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点，直线l₁从与直线l重合的位置开始以每秒1个单位速度向下作匀速平行移动．与此同时，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿直线l₁向左上方匀速运动，设它们运动时间为t．
（1）用含t的代数式表示点的坐标；
（2）过O作OC⊥AB于点C，以点P为圆心，1为半径作圆．
①若⊙P与直线OC相切，求此时t的值；
②已知⊙P与直线OC相交，交点为E、F，当△PEF是等边三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）易证∠BAO=30°，因而当P从点A出发以每秒2个单位的速度沿直线l₁向左上方匀速运动时，P以1个单位长度/秒的速度向上运动，以单位长度/秒的速度向左运动．
而直线l₁从以每秒1个单位速度向下作匀速平行移动，故P以单位长度/秒的速度沿x轴向左运动，则P的坐标可以求得；
（2）①若⊙P与直线OC相切，则PM=1，在直角△OMP中利用三角函数即可得到关于t的方程，解方程求得t的值；
②△PEF是等边三角形时，在OP一定是等边三角形的一边，则OP=1，据此即可求得t的值．
解答：解：（1）在y=x+6中，令x=0，则y=6，即B的坐标是（0，6），
令y=0，则-x+6=0，解得：x=6，
则OA=6，OB=6，
则∠BAO=30°，
因而当P从点A出发以每秒2个单位的速度沿直线l₁向左上方匀速运动时，P以1个单位长度/秒的速度向上运动，以单位长度/秒的速度向左运动．
而直线l₁从以每秒1个单位速度向下作匀速平行移动，故P以单位长度/秒的速度沿x轴向左运动．
则P的坐标是（6-t，0）；

（2）①若⊙P与直线OC相切，当P在OC的右边时，直角△OPM中，MP=1，OP=6-3t，∠MPO=∠BAO=30°，
则cos∠MPO===，解得：t=；
当当P在OC的左边时，直角△OPM中，MP=1，OP=t-6，∠MPO=∠BAO=30°
则cos∠MPO===，解得：t=；

②△PEF是等边三角形时，OP=1，则当P在OC的右边时，6-t=1，解得：t=6-（秒）；
当P在OC的左边时：t-6=1，解得：t=6+（秒）．
点评：本题考查了一次函数与三角函数的综合题，正确理解P运动的路径是关键．