题目内容

如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F、G、H分别在正方形的四条边上，已知EF∥GH，EF=GH．
（1）若AE=AH= $数学公式$ ，求四边形EFGH的周长和面积；
（2）求四边形EFGH的周长的最小值．

解：连接AC、BD，由勾股定理，得AC=BD= $\text{[math]}$ a，
（1）∵AB=AD=a，AE=AH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ AD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EH∥BD， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
EH= $\text{[math]}$ a，
同理可得GH= $\text{[math]}$ a，
∵EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
根据正方形的性质可知AC⊥BD，
∴?EFGH为矩形，
∴四边形EFGH的周长=2（ $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ a）=2 $\text{[math]}$ a，
四边形EFGH的面积= $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a²；

（2）设AE=x，则BE=a-x，
当EF∥GH，EF=GH时，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形EFGH为菱形，
四边形EFGH周长为：4 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
当x=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，周长最小为2 $\text{[math]}$ a．
分析：（1）当AE=AH= $\text{[math]}$ 时，可证EH∥BD∥FG，利用相似比可求EH与BD的关系，同理可得GH与AC的关系，可求四边形EFGH的周长，又正方形对角线互相垂足，可证四边形EFGH为矩形，可求四边形EFGH的面积；
（2）当EF∥GH，EF=GH时，可证四边形EFGH为菱形，设AE=x，则BE=a-x，根据勾股定理求菱形的边长，再表示周长，求最小值．
点评：本题考查了二次函数的最值在求四边形周长最值中的运用．关键是判断四边形的形状，利用相似，勾股定理表示四边形的周长和面积．