Question

3．P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x₁-x₂|+|y₁-y₂|叫做P₁、P₂两点间的“直角距离”，记作d（P₁，P₂）．
（1）令P₀（2，-4），O为坐标原点，则d（O，P₀）=6；
（2）已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（Q，P）=3，且x、y均为整数．
①满足条件的点P有多少个？
②若点P在直线y=3x上，请写出符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据“直角距离”的定义，将P₀（2，-4），O（0，0）点的坐标代入即可求得结果；
（2）根据“直角距离”的定义，将Q（2，1），动点P（x，y）的坐标代入可得知|2-x|+|1-y|=3，因为x、y均为正数，所以坐标不多，可一一分析列举出来，即可解决问题．

解答 解：（1）d（O，P₀）=|0-2|+|0-（-4）|=2+4=6．
故答案为：6．
（2）①∵d（Q，P）=|2-x|+|1-y|=3，且x、y均为整数，
∴当|1-y|=0时，|2-x|=3，解得P点坐标为（-1，1）、（5，1）；
当|1-y|=1时，|2-x|=2，解得P点坐标为（0，0）、（4，0）、（0，2）、（4，2）；
当|1-y|=2时，|2-x|=1，解得P点坐标为（1，-1）、（3，-1）、（1，3）、（3，3）；
当|1-y|=3时，|2-x|=0，解得P点坐标为（2，-2）、（2，4）．
综上，得知满足条件的点P的坐标有12个．
②直线y=3x上的点有纵坐标是横坐标3倍的特点，
∴符合条件的点P的坐标为（0，0）和（1，3）．

点评 本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是将两点坐标代入定义式中，再根据x、y均为整数的特点去解含绝对值的方程即可求得结论．