Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，设⊙O的半径为r，可证出△BOD∽△BAC，则=，从而求得r；
（2）由四边形BDEF是平行四边形，得∠DEF=∠B，再由圆周角定理可得，∠B=∠DOB，则△ODE是等边三角形，先得出四边形OFDE是平行四边形．再根据OE=OF，则平行四边形OFDE是菱形．
解答：解：（1）连接OD．设⊙O的半径为r．
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC．
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴=，即10r=6（10-r）．
解得r=，
∴⊙O的半径为．

（2）四边形OFDE是菱形．理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠B．
∵∠DEF=∠DOB，
∴∠B=∠DOB．
∵∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠DOB=60°．
∵DE∥AB，
∴∠ODE=60°．
∵OD=OE．
∴OD=DE．
∵OD=OF，
∴DE=OF．
又∵DE∥OF，
∴四边形OFDE是平行四边形．
∵OE=OF，
∴平行四边形OFDE是菱形．
点评：本题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、平行四边形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．