Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点C作CE⊥BC于C，点A、E在BC的异侧，点D在BC上，且BD=CE，连接DE．
求证：∠BAD=∠CDE．

Answer 1

分析：延长EC至E′，使CE′=CE，连接AE′、DE′，首先不难证得△ABD≌△ACE′，从而得出AD=AE′，∠BAD=∠CAE′，然后可由∠BAD+∠DAC=90°得出∠CAE′+∠DAC=90°，从而求出∠ADE′=45°，这样根据∠BAD=∠ADC-∠B=∠ADC-45°，∠E′DC=∠ADC-∠ADE′=∠ADC-45°，可得出结论．

解答：证明：延长EC至E′，使CE′=CE，连接AE′、DE′，
∵CE⊥BC，
∴∠DCE′=90°，
∵EC=E′C，
∴DE′=DE，
∴∠E′DC=∠EDC，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE′=45°，
∴∠B=∠ACE′，
在△ABD与△ACE′中

AB=AC ∠B=∠ACE′ BD=CE′

∴△ABD≌△ACE′（SAS），
∴AD=AE′，∠BAD=∠CAE′，
∴∠ADE′=∠AE′D，
∵∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠CAE′+∠DAC=90°，
∴∠ADE′=45°，
∵∠BAD=∠ADC-∠B=∠ADC-45°，∠E′DC=∠ADC-∠ADE′=∠ADC-45°，
∴∠BAD=∠E′DC，
∴∠BAD=∠CDE．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质，综合考查了中垂线、等腰三角形的知识，有一定的难度，解答本题要抓住等角转换这一思想进行求解．