Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.

 (1) 写出点M的坐标；

 (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.

Answer 1

 (1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，

∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，

∴ A，B的横坐标分别是2和– 2，

代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，

∴M (0，2)，                                                             

    (2) ① 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，

由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,

    ∵ Q(x,y) 在y = +1上， ∴ t = –+ x –2.                              

当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±,

当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2

∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数.                              

② 分两种情况讨论：

1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，                                                            

     ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，

∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，

∴t = –+ 0 –2 = –2  .                                                  

2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，

     ∵CM∥PQ，CM = PQ，

∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，解得： x = ±.                                                          

当x = –时，得t = –––2 = –8 –,                       

当x =时， 得t =–8.