Question

（2013•百色）如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为

5

2

cm．

Answer 1

分析：设AP=x，BE=y．通过△ABP∽△PCQ的对应边成比例得到

AD

BP

=

AP

BE

，所以

10

10-x

=

x

y

，即y=-

1

10

x²+x．利用“配方法”求该函数的最大值．

解答：解：设AP=x，BE=y．
如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°
∵PE⊥DP，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴△ADP∽△BPE，
∴

AD

BP

=

AP

BE

，即

10

10-x

=

x

y

，
∴y=-

1

10

x²+x=-

1

10

（x-5）²+

5

2

（0＜y＜10）；
∴当x=5时，y有最大值

5

2

．
故答案是：

5

2

．

点评：本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，求最大值时，运用到“配方法”．