Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的纵坐标为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由P点在第一象限，∠AOP=45°，可设P（a，a）．过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，用含a的代数式分别表示PF，CF，在△CFP中由勾股定理求出a的值，即可求得P点的坐标．
解答：解：∵OB=4，OA=4，
∴AB==8，
∵∠AOP=45°，
P点横纵坐标相等，可设P（a，a）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，设为点C，则C（2，2），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径4．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-2，CF=a-2，PC=4，
∴+（a-2）²=4²，舍去不合适的根，
可得a=2+2，P（2+2，2+2）；
即P点坐标为（2+2，2+2）．
故选：D．
点评：此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．