Question

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0）
（1）试求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；
（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y=-x-1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，根据射影定理即可求出OC的长，由此得到C点的坐标；
（2）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定其解析式；
（3）根据抛物线的解析式，易求得D（1，3）；联立直线AE的解析式即可求得E点的坐标，此时可发现∠OBD和∠EAB同为45°，对应相等，若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，可考虑两种情况：
①△PBD∽△BAE，②△PBD∽△EAB；根据上述两种情况所得到的不同比例线段即可求出BP的长，从而确定P点的坐标．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OC⊥AB，
由射影定理，得：OC²=OA•OB=4，即OC=2，
∴C（0，2）；

（2）∵抛物线经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有：
2=a（0+1）（0-4），a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（3）存在符合条件的P点，且P（

13

7

，0）或（-

22

5

，0）．
根据抛物线的解析式易知：D（1，3），
联立直线AE和抛物线的解析式有：

y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2 y=-x-1

，
解得

x=-1 y=0

，

x=6 y=-7

，
∴E（6，-7），
∴tan∠DBO=

3-0

4-1

=1，即∠DBO=45°，tan∠EAB=

0-(-7)

6-(-1)

=1，即∠EAB=45°，
∴∠DBA=∠EAB，
若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况：
①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．
易知BD=3

2

，EA=7

2

，AB=5，
由①得：

PB

AB

=

BD

AE

，即

PB

5

=

3 2

7 2

，即PB=

15

7

，OP=OB-PB=

13

7

，
由②得：

BP′

AE

=

BD

AB

，即

P′B

7 2

=

3 2

5

，即P′B=

42

5

，OP′=OB-BP′=-

22

5

，
∴P（

13

7

，0）或（-

22

5

，0）．

点评：此题主要考查了直角三角形的性质、二次函数解析式的确定以及相似三角形的判定和性质，要注意当相似三角形的对应边和对应角不确定的情况下需要分类讨论，以免漏解．