Question

【题目】综合与实践

问题情境：

数学课上，老师让同学们拿两张大小相同的正方形纸片做旋转探究活动，并提出数学问题加以解决：如图（1），四边形ABCD和DCGH都是正方形，点M，N分别是DH，CG的中点，将正方形ABCD以点D为中心，逆时针旋转角度α（0＜α＜90°），得到正方形ABC'D．

解决问题：

下面是兴趣小组提出两个数学问题，请你解决这些问题．

（1）如图（2）．当边BC'正好经过点N时．写出线段C'G和DN的位置关系，并证明

（2）如图（3），当点C′正好落在MN上时，求旋转角α的大小．

Answer 1

【答案】（1）C′G∥DN．理由见解析；（2）旋转角α的大小为30°．

【解析】

（1）结论：C′G∥DN．想办法证明∠DNC=∠C′GN即可解决问题．

（2）连接HC′．证明△DC′H是等边三角形即可解决问题．

（1）结论：C′G∥DN．

理由：如图2中，连接C′G，DN．

在Rt△DCN和Rt△DC′N中：

∵DC＝DC′，DN＝DN，∠DCN＝∠DC′N＝90°，

∴Rt△DCN≌Rt△DC′N（HL）），

∴CN＝C′N，∠DNC＝∠DNC′，

又∵CN＝NG，

∴NG＝C′N，

∴∠NC′G＝∠NGC′，

又∵∠CNC′＝∠NC′G+∠NGC′，

∴∠DNC′＝∠NG C′，

∴C′G∥DN．

（2）连接HC′．

∵四边形DCGH是正方形，点M，N分别是DH，CG的中点，

∴MN垂直平分DH，

∴DC′＝C′H．

又∵DH＝DC′，

∴△DC′H是等边三角形，

∴∠C′DH＝60°，

∴∠CDC′＝30°．

∴旋转角α的大小为30°．