Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交边AB于点D，DE⊥BC垂足为E，AD=

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2

BD．求证：BE=CE．

Answer 1

分析：根据角平分线的性质，即可证得AD=DE，则在直角△BDE中，即可得到BD=2DE，则∠B=30°，根据角平分线的定义求得∠DCE的度数，根据等角对等边即可证得△BDC是等腰三角形，依据三线合一定理，即可证得．

解答：证明：∵∠A=90°，DE⊥BC，CD平分∠ACB，
∴AD=DE（1分）
∵AD=

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2

BD，
∴DE=

1

2

BD．（1分）
在Rt△BDE中，
∵DE=

1

2

BD，
∴∠B=30°．（1分）
在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，∠B=30°，
∴∠ACB=60°．（1分）
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=

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2

∠ACB=30°．（1分）
∴∠BCD=∠B，
∴BD=CD．（1分）
∵DE⊥BC，
∴BE=CE．（1分）

点评：本题考查了角平分线的性质定理，等角对等边，三线合一定理，关键是求得∠B的度数．