Question

细心观察，认真分析，然后解答问题：

( 1 )2+1=2，S1= 1 2 ；( 2 )2+1=3，S2= 2 2 ； ( 3 )2+1=4，S3= 3 2 ；…

（1）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律______；
（2）OA₁₀的长______；
（3）求出

S

21

+

S

22

+

S

23

+…+

S

210

的值．

Answer 1

（1）根据所给图形，可得OA_n=（

n-1

）²+1²=n，则S_n=

1

2

×1×

n

=

n

2

；
即可得规律：（

n-1

）²+1²=n，S_n=

1

2

×1×

n

=

n

2

；

（2）由（1）得OA_n=

n

，故OA₁₀=

10

；

（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²=（

1

2

）²+（

2

2

）²+（

3

2

）²+…+（

10

2

）²
=

1

4

+

2

4

+

3

4

+

4

4

+

5

4

+…+

10

4

=

55

4

．
故答案为：（

n-1

）²+1²=n，S_n=

n

2

；

10

．