Question

23、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕着点C旋转到如图所示的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；     ②DE=AD+BE
（2）当直线MN绕着点C旋转到如图所示的位置时，①找出图中一对全等三角形；②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据余角和补角的性质易证得∠DAC=∠ECB，已知∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，根据全等三角的判定AAS即可证明△ADC≌△CEB，根据各边的相等关系即可得DE=AD+BE．
（2）同理可证得△ADC≌△CEB，再根据各边的相等关系可得DE=AD-BE．

解答：解：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=180°-90°=90°，
∴∠DAC=∠ECB；
在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠ECB，AC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS）①，（7分）
∴DC=EB，AD=CE，
∴DE=AD+BE．（9分）

（2）同理可得△ADC≌△CEB①；（11分）
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=AD-BE②．（14分）

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到补角和余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．