Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若没有，请说明理由．
（4）若点M从B点以每秒

4

3

个单位沿BA方向向A点运动，同时，点N从C点以每秒

2

个单位向沿CB方向A点运动，问t当为何值时，以B，M，N为顶点的三角形与△OBC相似？

Answer 1

分析：（1）根据待定系数法求函数解析式的方法，将点A、B代入函数解析式，列出方程组即可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直线BC的解析式，直线BC与对称轴的交点即是所求的点Q；
（3）存在，根据二次函数解析式设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标；
（4）分别表示出BM、BN的长度，然后分①∠BMN是直角，②∠BNM是直角两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．

解答：解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，（2分）
∴

b=-2 c=3

，（3分）
∴抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；（4分）

（2）存在．（5分）
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y=-x²-2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
直线BC解析式为：y=x+3，（6分）
x=-1时，y=-1+3=2，
∴点Q的坐标是Q（-1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）
理由如下：如图，设P点（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），
则PE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x，
∴S_△BPC=

1

2

×PE×[x-（-3）]+

1

2

×PE×（0-x），
=

1

2

（x+3）（-x²-3x）+

1

2

（-x）（-x²-3x）
=-

3

2

（x²+3x），
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
当x=-

3

2

时，△PBC的面积有最大值，最大值是

27

8

，
当x=-

3

2

时，-x²-2x+3=

15

4

，
∴点P坐标为（-

3

2

，

15

4

）；（11分）

（4）在Rt△OBC中，BC=

OB2+OC2

=

32+32

=3

2

，
运动t秒时，BM=

4

3

t，BN=3

2

-

2

t，
①∠BMN是直角时，∵△MBN∽△OBC，
∴

BM

OB

=

BN

BC

，
即

4 3 t

3

=

3 2 - 2 t

3 2

，
解得t=

9

7

，
②∠BNM是直角时，∵△NBM∽△OBC，
∴

BM

BC

=

BN

OB

，
即

4 3 t

3 2

=

3 2 - 2 t

3

，
解得t=

9

5

，
综上所述，t为

9

7

或

9

5

时，以B，M，N为顶点的三角形与△OBC相似．

点评：此题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的对应边成比例的性质，注意要分情况讨论求解，要注意数形结合思想的应用．