Question

如图，在9×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．
（1）求证：△ACB∽△DCE；
（2）求△DFB和△DCE的面积比．

Answer 1

分析：（1）从图中得到AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90°，故有

AC

DC

=

BC

CE

，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得到△ACB∽△DCE；
（2）先由相似三角形的对应角相等得出∠ABC=∠DEC，又∠BDF=∠EDC，得出△DFB∽△DCE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．

解答：（1）证明：∵AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，
∴

AC

DC

=

3

2

，

BC

CE

=

6

4

=

3

2

，
∴

AC

DC

=

BC

CE

，
又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ACB∽△DCE；

（2）解：在Rt△DCE中，DE²=DC²+CE²=2²+4²=20．
∵△ACB∽△DCE，
∴∠ABC=∠DEC，
又∵∠BDF=∠EDC，
∴△DFB∽△DCE．
∴S_△DFB：S_△DCE=DB²：DE²=16：20=4：5．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，难度适中．用到的知识点：
两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；
相似三角形的对应角相等；
相似三角形的面积比等于相似比的平方．