Question

如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO．
（1）求证：

CD

AC

=

CE

CB

；
（2）计算CD•CB的值，并指出CB的取值范围．

Answer 1

分析：（1）证△CDE∽△CAB，再根据相似三角形的性质得到所求的比例式；
（2）根据割线定理即可求得CD•CB的值．根据三角形的三边关系求得BC的取值范围．

解答：（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠EDC=∠BAO，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴

CD

AC

=

CE

CB

；

（2）解：
∵直径AE=8，OC=12，
∴AC=12+4=16，CE=12-4=8．
又∵

CD

AC

=

CE

CB

，
∴CD•CB=AC•CE=16×8=128．
连接OB，在△OBC中，OB=

1

2

AE=4，OC=12，
∴故BC的范围是：8

2

≤BC＜16．

点评：本题主要考查圆、相似三角形等初中几何的重点知识，考查学生的几何论证能力，属于中等难度题．