Question

已知以P（7，0）为圆心，25为半径的⊙P，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，若在圆上有一点Q使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为梯形，则Q点坐标为

（14，24）、（-8，-20）、（22，20）、（-

548

25

，-

336

25

）

．

Answer 1

分析：此题需要分类讨论．①当BQ∥AP时，求点Q的坐标；②当AB∥PQ时，求点Q的坐标；③当AQ∥BP时，求点Q的坐标．

解答：解：如图，在⊙P中，P（7，0），AP=BP=25．
则易求A（-18，0），B（0，24）．
所以，直线AB的解析式为：y=

4

3

x+24．
直线BP的解析式为：y=-

24

7

x+24．
①当BQ∥AP时，点Q位于第一象限．设Q（x，24），则（x-7）²+24²=25²，
解得，x=14，
所以Q₁（14，24）；

②当AB∥PQ时，设PQ的直线为y=

4

3

x+b₂．
∵P（7，0），
∴0=

4

3

×7+b₂，
解得，b₂=-

28

3

，
∴直线PQ的解析式是：y=

4

3

x-

28

3

．
又∵点Q在圆P上，
∴

y= 4 3 x- 28 3 (x-7)2+y2=252

，
解得，

x=22 y=20

或

x=-8 y=-20

，即Q₂（22，20），Q₃（-8，-20）．

④当AQ∥BP时，点Q位于第四象限，设直线AQ的解析式是y=-

24

7

x+b₁．
∵A（-18，0），
∴0=-

24

7

×（-18）+b₁，
解得，b₁=-

432

7

，
∴直线AQ的解析式为：y=-

24

7

x-

432

7

，则

y=- 24 7 x- 432 7 (x-7)2+y2=252

，
解得，

x=- 548 25 y=- 336 25

，即Q₄（-

548

25

，-

336

25

）；
综上所述，符合条件的点Q的坐标分别是：（14，24）、（-8，-20）、（22，20）、（-

548

25

，-

336

25

）．
故答案是：（14，24）、（-8，-20）、（22，20）、（-

548

25

，-

336

25

）．

点评：本题考查了圆的综合题．其中涉及到的知识点有：勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式，二元一次方程组的解法等．解答该题时，要结合图形，分类讨论，以防漏解．