Question

【题目】如图，有一个不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是

Answer 1

【答案】
（ ）
【解析】解：因为AC为对角线，故当AC最小时，正方形边长此时最小.
①当 A、C都在对边中点时（如下图所示位置时），显然AC取得最小值，
∵正六边形的边长为1，
∴AC=,
∴a2+a2=AC2=.
∴a==.
②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大（如下图所示）.
设A′（t,）时，正方形边长最大.
∵OB′⊥OA′.
∴B′（- ， t）
设直线MN解析式为：y=kx+b,M（-1，0），N（- ， -）（如下图）
∴.
∴.
∴直线MN的解析式为：y=（x+1）,
将B′（- ， t）代入得：t=-.
此时正方形边长为A′B′取最大.
∴a==3-.
故答案为：≤a≤3-.

分情况讨论.① 当A、C都在对边中点时，a最小.②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大.根据题意求出正方形对角线的长度，再根据勾股定理即可求出a.从而得出a的范围.