Question

如图，在直角坐标系中，点的坐标分别为，过三点的抛物线的对称轴为直线为对称轴上一动点．

（1）       求抛物线的解析式；

（2）       求当最小时点的坐标；

（3）       以点为圆心，以为半径作．

①证明：当最小时，直线与相切．

②写出直线与相切时，点的另一个坐标：___________．

 

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为．

将代入上式，得．

解，得．

抛物线的解析式为．

即．

（2）连接，交直线于点．

 

点与点关于直线 对称，

．

．

由“两点之间，线段最短”的原理可知：

此时最小，点的位置即为所求．

设直线的解析式为，

由直线过点，，得

解这个方程组，得

直线的解析式为．

由（1）知：对称轴为，即．

将代入，得．

点的坐标为（1，2）．

说明：用相似三角形或三角函数求点的坐标也可，答案正确给2分．

（3）①连接．设直线与轴的交点记为点．

由（1）知：当最小时，点的坐标为（1，2）．

．

．

．

．

与相切．

②．