题目内容

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c过点A（2，0），对称轴为y轴，顶点为P

（1）求该抛物线的解析式，写出其顶点P的坐标，请在图①中画出大致的图象；
（2）如图②，将此抛物线向右平移m个单位，再向下平移m个单位（m＞O）．平移后的抛物线与直线y=1相交于M、N两点，若2≤MN≤4．求m的取值范围；
（3）如图③，若此抛物线在（2）的平移方式下，新抛物线的顶点为B点，与y轴的交点为C．若∠OBC=45°，试求m的值．

解：（1）如图1所示：
∵抛物线y=-x²+bx+c过点A（2，0），对称轴为y轴为y轴，
∴b=0，
∴0=-4+c，
解得：c=4，
∴y=-x²+4，
P（0，4）；

（2）∵将此抛物线向右平移m个单位，再向下平移m个单位（m＞O），平移后的抛物线与直线y=1相交于M、N两点，
∴平移后解析式为：y=-（x-m）²+4-m，
当y=1时，x=m± $\text{[math]}$ ，
∴MN=2 $\text{[math]}$ ，则2≤2 $\text{[math]}$ ≤4，
解得：-1≤m≤2，
∵m＞0，
∴0＜m≤2；

（3）分类讨论如下：
①∵抛物线先向右平移m个单位，再向下平移m个单位m个单位（m＞0），
∴B（m，4-m），
y=-（x-m）²+4-m，
∴C（0，-m²-m+4），
可得∠OPB=45°，∵∠OBC=45°，
∠BOC=∠BOP，
∴△OCB∽△OBP；
如图1，当点C在y轴正半轴上时，即-m²-m+4＞0时，
BO²=OC•OP，
∵BO²=2m²-8m+16，
OC=-m²-m+4，
OP=4，
∴2m²-8m+16=4×（-m²-m+4），
解得：m₁=0（不合题意舍去），m₂= $\text{[math]}$ ；
②如图2，当点C在y轴负半轴上时，
即-m²-m+4＜0时，BO²=OC•OP，
∵BC²=m²+m⁴，OC=m²+m-4，CP=m²+m，
解得：m₃=0，m₄=1+ $\text{[math]}$ ，m₅=1- $\text{[math]}$ （负根舍去），
∴m=1+ $\text{[math]}$ ，
综上所述，m= $\text{[math]}$ 或m=1+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把点A的坐标和对称轴（x=0）代入抛物线y=-x²+bx+c就可求出表达式和顶点坐标；
（2）根据平移规律（上加下减右减左加），即可求出新抛物线的解析式，进而得出MN的长度求出m的取值范围即可；
（3）先证明两三角形相似，再利用相似三角形的边之比相等，即可求出m的值．
点评：此题主要考查了抛物线的顶点坐标和与y轴交点坐标的求法，能应用平移规律求解析式，关键是把二次函数的图象转化成相似三角形利用相似三角形的性质来解决．