题目内容

抛物线y=a（x+6）²-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE²=3DE．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）P为直线DE上的一点，且△PAC是以PC为斜边的直角三角形，求tan∠PCA的值；
（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出符合条件的所有的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）易知抛物线的顶点D（-6，-3），则DE=3，OE=6；
∵AE²=3DE=9，
∴AE=3，即A（-3，0）；
将A点坐标代入抛物线的解析式中，
得：a（-3+6）²-3=0，
即a= $\text{[math]}$ ，
即抛物线的解析式为：y= $\text{[math]}$ （x+6）²-3= $\text{[math]}$ x²+4x+9；
（2）如图2，连接AP．设P（-6，a），
∵A（-3，0），E（-6，0），C（0，9），
根据勾股定理，AE²+PE²+AC²=PC²，
即9+a²+9+81=6²+（a-9）²，
解得a=1，
P点坐标为（-6，1），AP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴tan∠PCA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论：
①当NE=2DE时，NE=6，即N（-6，6），已知D（-6，-3），则有：
直线MN的斜率：k₁= $\text{[math]}$ ，直线MD的斜率：k₂= $\text{[math]}$ ；
由于MN⊥DM，则k₁•k₂= $\text{[math]}$ =-1，
整理得：a²+b²+12a-3b+18=0…（△），
由抛物线的解析式得： $\text{[math]}$ a²+4a+9=b，
整理得：a²+12a-3b+27=0…（□）；
（△）-（□）得：b²=9，即b=3（负值舍去），
将b=3代入（□）得：a=-6+3 $\text{[math]}$ ，a=-6-3 $\text{[math]}$ ，
故点M（-6+3 $\text{[math]}$ ，3）或（-6-3 $\text{[math]}$ ，3）；
②当2NE=DE时，NE= $\text{[math]}$ ，即N（-6， $\text{[math]}$ ），已知D（-6，-3），
则有：直线MN的斜率：k₁= $\text{[math]}$ ，直线DM的斜率：k₂= $\text{[math]}$ ；
由题意得：k₁•k₂= $\text{[math]}$ =-1；
整理得：a²+b²+ $\text{[math]}$ b+12a+ $\text{[math]}$ =0，
而a²+12a-3b+27=0；两式相减，得：2b²+9b+9=0，
解得b=-2，b=- $\text{[math]}$ ，（均不符合题意，舍去）；
综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（-6+3 $\text{[math]}$ ，3）或（-6-3 $\text{[math]}$ ，3）．
分析：（1）根据已知的抛物线解析式，可求得顶点D的坐标，即可求得DE、OE的长，根据AE2=3DE，可求出AE的值，进而可得到点A的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）设出点P的纵坐标为P（-6，a），根据勾股定理求出a的值，再求出AP、AC的值，从而得到tan∠PCA的值；
（3）此题比较复杂，需要分两种情况考虑：
①NE=2DE，此时N（-6，6），可设出点M的坐标，然后分别表示出直线MN、直线MD的斜率，若两条直线互相垂直，那么它们的斜率的积为-1，可据此得到关于M点横、纵坐标的关系式，联立抛物线的解析式即可得到点M的坐标；
②2NE=DE，方法同①．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、直角三角形的判定和性质、圆周角定理、直线与圆的位置关系、互相垂直两直线的斜率关系等重要知识，综合性强，难度很大．