Question

潍坊市昌乐县有一个食品厂，该厂的食品主要有两种销售方式，一种方式是卖给食品经销商，另一种方式是在各超市的柜台进行销售，每年该厂生产的食品都可以全部销售，该食品厂每年可以生产食品100万盒，其中，卖给食品经销商每盒食品的利润y₁（元）与销售量x（万盒）之间的函数图如图所示；在各超市柜台销售的每盒利润y₂（元）与销售量x（万盒）之间的函数关系为：y2=

- 3 4 x+80(0≤x＜40) 40(40≤x≤100)

（1）写出该食品厂卖给食品经销商的销售总利润z₁（万元）与其销售量x（万盒）之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）求出该食品厂在各超市柜台销售的总利润z₂（万元）与卖给食品经销商的销售量x（万盒）之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）求该食品厂每年的总利润w（万元）与卖给食品经销商的销售量x（万盒）之间的函数关系式，并帮助该食品厂确定卖给食品经销商和在各超市柜台的销量各为多少万盒时，该公司的年利润最大？

Answer 1

分析：（1）当0≤x＜60时，可直接得出该食品厂卖给食品经销商的销售总利润z₁=5x，再根据当60≤x≤100时，每盒食品的利润y₁（元）与销售量x（万盒）之间的函数图象过（60，5）（100，4）点，得出y₁=-

1

40

x+

13

2

，最后乘以其销售量x即可得出答案；
（2）根据在各超市柜台销售的每盒利润y₂（元）与销售量x（万盒）之间的函数关系，用y₂乘以卖给各超市柜台的销售量即可得出答案；
（3）分别求出当0≤x＜40，40≤x＜60，60≤x≤100时该食品厂每年的总利润w（万元）与卖给食品经销商的销售量x（万盒）之间的函数关系式为，再分别求出此时最大利润，即可得出所以该食品厂确定卖给各超市柜台的销量多少万盒时，该公司的年利润最大．

解答：解：（1）当0≤x＜60时，该食品厂卖给食品经销商的销售总利润z₁=5x，
∵当60≤x≤100时，每盒食品的利润y₁（元）与销售量x（万盒）之间的函数图象过（60，5）（100，4）点，
∴当60≤x≤100时，y₁=-

1

40

x+

13

2

，
∴当60≤x≤100时，该食品厂卖给食品经销商的销售总利润z₁=（-

1

40

x+

13

2

）x=-

1

40

x²+

13

2

x．

（2）∵卖给食品经销商的销售量为x万盒，
∴在各超市柜台的销售量为（100-x）万盒，
∵在各超市柜台销售的每盒利润y₂（元）与销售量x（万盒）之间的函数关系为：
y₂=

- 3 4 x+80(0≤x＜40) 40(40≤x≤100)

∴当0≤100-x＜40时，
即60＜x≤100时，该食品厂在各超市柜台销售的总利润z₂（万元）与卖给食品经销商的销售量x（万盒）之间的函数关系式为：
z₂=[-

3

4

（100-x）+80]（100-x）=-

3

4

x²+70x+500
当40≤100-x≤100时，
即0≤x≤60时，该食品厂在各超市柜台销售的总利润z₂（万元）与卖给食品经销商的销售量x（万盒）之间的函数关系式为：
z₂=40（100-x）=-40x+4000，

（3）当60＜x≤100时该食品厂每年的总利润w（万元）与卖给食品经销商的销售量x（万盒）之间的函数关系式为；
w=（-

1

40

x²+

13

2

x）+（-

3

4

x²+70x+500）=-

31

40

x²+

153

2

x+500，
∵抛物线开口向下，
∴x=

1530

31

时，w的值最大，
w=2387.82万元，
当40≤x＜60时该食品厂每年的总利润w（万元）与卖给食品经销商的销售量x（万盒）之间的函数关系式为；
w=5x-40x+4000=-35x+4000，
∵该函数w随x的增大而减小，
∴当x=0时，利润最大，
此时的最大利润为：-35×0+4000=4000（万元），
当0≤x＜40时该食品厂每年的总利润w（万元）与卖给食品经销商的销售量x（万盒）之间的函数关系式为：
w=5x+（-

3

4

x+80）（100-x），
=

3

4

x²-150x+8000，
∴当x=0时，利润最大，
此时的最大利润为8000（万元），
所以该食品厂确定卖给各超市柜台的销量100万盒时，该公司的年利润最大．

点评：此题考查了二次函数的应用，此题中的数量关系较多，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-

b

2a

时取得．