Question

等边△ABC中，D、E是BC、AC上的点，AE=CD，AD与BE相交于Q，BP⊥AD，
求证：（1）△ABE≌△CAD；（2）BQ=2PQ．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可以得出∠BAC=∠C=60°，AB=AC=BC，由SAS及可以得出△ABE≌△CAD；
（2）由△ABE≌△CAD可以得出∠ABE=∠CAD，就可以求出∠BQP=60°，根据含30度角的直角三角形的性质就可以求出结论．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC=BC．
在△ABE和△CAD中，

AB=CA ∠BAC=∠C AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BQP=∠ABE+∠BAQ，
∴∠BQP=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
∵BP⊥AD，
∴∠BPQ=90°．
∴∠PBQ+∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°．
∴BQ=2PQ．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，直角三角形的性质的运用，含30度角的直角三角形的性质运用，解答时证明三角形全等是关键．