Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2nx+c的图象过坐标原点.

(1)若a=-1.

①当函数自变量的取值范围是-1≤x≤2，且n≥2时，该函数的最大值是8，求n的值;

②当函数自变量的取值范围是时，设函数图象在变化过程中最高点的纵坐标为m，求m与n的函数关系式，并写出n的取值范围;

（2）若二次函数的图象还过点A（-2，0），横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点，二次函数图象与直线AB围城的区域（不含边界）为T，若区域T内恰有两个整点，直接写出a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ①n=3;② （2）

【解析】

（1）①根据已知条件可确定抛物线图象的基本特征，从而列出关于的方程，即可得解；②根据二次函数图象的性质分三种情况进行分类讨论，从而得到与的分段函数关系；

（2）由得正负进行分类讨论，结合已知条件求得的取值范围．

解：(1) ∵抛物线过坐标原点

∴c=0，a=-1

∴y=-x2+2nx

∴抛物线的对称轴为直线x=n，且n≥2，抛物线开口向下

∴当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大

∴当x=2时，函数的最大值为8

∴-4+4n=8

∴n=3．

②若

则

∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小

∴当时，函数值最大，；

若

则

∴此时，抛物线的顶点为最高点

∴；

若

则

∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大

∴当时，函数值最大，

∴综上所述：

（2）结论：或

证明：∵过

∴

∴

①

∵若，直线的解析式为，抛物线的对称轴为直线

∴顶点为，对称轴与直线交点坐标为

∴两个整点为，

∵不含边界

∴

∴

②

∵若，区域内已经确定有两个整点，

∴在第三项象限和第一象限的区域内都要确保没有整点

∴

∴

∵当时，直线上的点的纵坐标为，抛物线上的点的纵坐标为

∴

∴

∴

故答案为：（1）①；②（2）或