Question

如图，已知抛物线y＝x²－4x＋3与x轴交于两点A、B，其顶点为C．

(1)对于任意实数m，点M(m，－2)是否在该抛物线上？请说明理由；

(2)求证：△ABC是等腰直角三角形；

(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)假如点M(m，－2)在该抛物线上，则－2＝m2－4m＋3， 　　m2－4m＋5＝0，由于△＝(－4)2－4×1×5＝－4＜0，此方程无实数解， 　　所以点M(m，－2)不会在该抛物线上； 　　(2)当y＝0时，x2－4x＋3＝0，x1＝1，x2＝3，由于点A在点B左侧，∴A(1，0)，B(3，0) 　　y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴顶点C的坐标是(2，－1)， 　　由勾股定理得，AC＝，BC＝，AB＝2， 　　∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形； 　　(3)存在这样的点P． 　　根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分， 　　∴点P的纵坐标是1， 　　∵点P在抛物线y＝x2－4x＋3上，∴当y＝1时，即x2－4x＋3＝1，解得x1＝2－，x2＝2＋， 　　∴点P的坐标是(2－，1)或(2＋，1)．