Question

已知：矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将矩形顶点B沿GF折叠，使B落在AD上（不与A、D重合）的E处，点G、F分别在AB、BC上．
（1）不论点E在何处，试判断△BFE的形状；
（2）若AG：GB=1：2时，求证：EG平分∠AEB；
（3）若

AG

GB

=

1

4

，试求BF的长．

Answer 1

分析：（1）根据翻折变换的性质可得BF=EF，然后判定为等腰三角形；
（2）先求出AG、BG的长，再根据翻折的性质可得EG=BG，利用勾股定理列式求出AE，然后求出

AG

AE

=

AE

AB

，证明得到△ABE和△AEG相似，再利用相似三角形对应角相等可得∠AEG=∠ABE，再根据等边对等角可得∠ABE=∠BEG，然后求出∠AEG=∠BEG，根据角平分线定义证明即可；
（3）求出AG、BG的长，再根据翻折的性质可得EG=BG，利用勾股定理列式求出AE，再求出△ABE和△BFG相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵矩形顶点B沿GF折叠B落在AD上（不与A、D重合）的E处，
∴BF=EF，
∴△BEF是等腰三角形；

（2）证明：∵AG：GB=1：2，AB=6，
∴AG=6×

1

1+2

=2，GB=6×

2

1+2

=4，
由翻折性质，EG=BG=4，
在Rt△AGE中，AE=

EG2-AG2

=

42-22

=2

3

，
∴

AG

AE

=

2

2 3

=

3

3

，

AE

AB

=

2 3

6

=

3

3

，
∴

AG

AE

=

AE

AB

，
又∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△AEG，
∴∠AEG=∠ABE，
由EG=BF得，∠ABE=∠BEG，
∴∠AEG=∠BEG，
∴EG平分∠AEB；

（3）解：∵

AG

GB

=

1

4

，AB=6，
∴AG=6×

1

1+4

=

6

5

，BG=6×

4

1+4

=

24

5

，
由翻折性质，EG=BG=

24

5

，
在Rt△AGE中，AE=

EG2-AG2

=

( 24 5 )2-( 6 5 )2

=

6 15

5

，
由翻折的性质，∠EBF+∠BFG=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠BFG，
又∵∠A=∠ABF=90°，
∴△ABE∽△BFG，
∴

AE

BG

=

AB

BF

，
即

6 15 5

24 5

=

6

BF

，
解得BF=

8 15

5

．

点评：本题考查了翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据翻折变换求出线段的长度，然后求出三角形相似是解题的关键，也是本题的难点．