题目内容

已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．

   （I）求与的值；

   （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义

点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得

抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得

（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。

则，当   则。

联立方程，整理得：

即：，解得或

，而，直线斜率为

，联立方程

整理得：，即：

 ，解得：，或

，

而抛物线在点N处切线斜率：

MN是抛物线的切线，， 整理得

，解得（舍去），或，

练习册系列答案
相关题目
如图（1），已知抛物线y=ax2+b与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点M，点B的坐标为（4，0），点M的坐标为（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N的坐标为（O，-3），作DN⊥y轴于点N，交抛物线于点D；直线y=-5垂直y轴于点C（0，-5）；作DF垂直直线y=-5于点F，作BE垂直直线y=-5于点E．
①求线段的长度：MC=
 
，MN=
 
；BE=
 
，BN=
 
；DF=
 
，DN=
 
；
②若P是这条抛物线上任意一点，猜想：该点到直线y=-5的距离PH与该点到N点的距离PN有怎样的数量关系？
（3）如图（2），将N点改为抛物线y=x2-4x+3对称轴上的一点，直线y=-5改为直线y=m（m＜-1），已知对于抛物线y=x2-4x+3上的每一点，都有该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，求m的值及点N的坐标．
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已知抛物线y=ax2+bx+c，当x=0时，有最小值为1；且在直线y=2上截得的线段长为4．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线的任意一点，记点P到x轴的距离为d1，点P与点F（0，2）的距离为d2，猜想d1、d2的大小关系，并证明；
（3）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点）．
①试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由；
②以PQ为直径的圆与y轴的交点为A、B，若OA•OB=1，求直线PQ对应的函数解析式．
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现
再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为
2
3
2
3
．
（2）实践运用
如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
（3）拓展迁移
如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
精英家教网先阅读短文，再回答短文后面的问题．
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．
如上图，建立直角坐标系xoy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设|KF|=p（p＞0），那么焦点F的坐标为（
p
2
，0），准线l的方程为x=-
p
2
．
设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d，由抛物线的定义，抛物线就是满足|MF|=d的点M的轨迹．
∵|MF|=
(x-
p
2
)2+y2
，d=|x+
p
2
|∴
(x-
p
2
)2+y2
=|x+
p
2
|
将上式两边平方并化简，得y2=2px（p＞0）①
方程①叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（
p
2
，0），它的准线方程是x=-
p
2
．
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其它的几种形式：y2=-2px，x2=2py，x2=-2py．这四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程列表如下：
标准方程  交点坐标  准线方程 
 y2=2px（p＞0）  （
p
2
，0）		  x=-
p
2
 y2=-2px（p＞0）  （-
p
2
，0）		  x=
p
2
 x2=2py（p＞0）  （0，
p
2
）		  y=-
p
2
 x2=-2py（p＞0）  （0，-
p
2
）		  y=-
p
2
解答下列问题：
（1）①已知抛物线的标准方程是y2=8x，则它的焦点坐标是
 
，准线方程是
 

②已知抛物线的焦点坐标是F（0，-6），则它的标准方程是
 
．
（2）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程．
（3）直线y=
3
x+b经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．

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