Question

【题目】如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积是4．其中一定成立的是______．(把所有正确结论的序号填在横线上)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据矩形的性质和同角的余角相等可判定①；根据AAS可判定②；先证△BFG∽△CGH，根据相似三角形的性质及勾股定理判定③；由③中求得的数据结合已知，根据矩形面积公式判定④.

∵∠FGH＝90°，∴∠BGF+∠CGH＝90°．

又∵∠CGH+∠CHG＝90°，

∴∠BGF＝∠CHG，故①正确．

同理可得∠DEH＝∠CHG．

∴∠BGF＝∠DEH．

又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH，

∴△BFG≌△DHE，故②正确．

同理可得△AFE≌△CHG．

∴AF＝CH．

易得△BFG∽△CGH．

设GH、EF为a，

∴

∴

∴BF＝

∴AF＝AB﹣BF＝a﹣

∴CH＝AF＝a﹣．

在Rt△CGH中，

∵CG2+CH2＝GH2，

∴32+(a﹣)2＝a2．解得a＝2．

∴GH＝2．

∴BF＝a﹣＝．

在Rt△BFG中，∵cos∠BFG＝＝，∴∠BFG＝30°．

∴tan∠BFG＝tan30°＝，故③错误．

矩形EFGH的面积＝FG×GH＝2×2＝4，故④正确．

故答案为：①②④