Question

如图所示，在△ABC的大边AB上取AN=AC，BM=BC，点P为△ABC的内心，求证：∠MPN=∠A+∠B．

Answer 1

证明：连接PA、PB、PC及PM、PN．
由已知易证△APC≌△APN，△BPC≌△BPM．从而PC=PN，PC=PM，即PM=PN=PC．
故P为△CMN的内心，此时有∠MPN=2∠MCN．
而∠ACN=90°-∠A，∠BCM=90°-∠B，
故∠ACN+∠BCM=180°-（∠A+∠B），
即∠MCN+∠ACB=180°-（∠A+∠B），
则∠MCN=（180°-∠ACB）-（∠A+∠B）=（∠A+∠B）．
故∠MPN=2∠MCN=∠A+∠B．
分析：连接PA、PB、PC及PM、PN．由已知易证△APC≌△APN，△BPC≌△BPM．由P为△CMN的内心，此时有∠MPN=2∠MCN．从而得出2∠MCN=∠A+∠B．即∠MPN=∠A+∠B．
点评：本题考查了三角形内心的性质以及全等三角形的判定和性质．