Question

已知：如图，正方形纸片ABCD的边长是4，点M、N分别在两边AB和CD上（其中点N不与点C重合），沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处．

【小题1】（1）设AE＝x，四边形AMND的面积为 S，求 S关于x 的函数解析式，并指明该函数的定义域；
【小题2】（2）当AM为何值时，四边形AMND的面积最大？最大值是多少？
【小题3】（3）点M能是AB边上任意一点吗？请求出AM的取值范围．  

Answer 1

【小题1】⑴依题意，点B和E关于MN对称，则ME=MB=4-AM.
再由AM²+AE²=ME²=(4-AM)²，得AM=2-.            ……………………1分
作MF⊥DN于F，则MF=AB，且∠BMF=90°.
∵MN⊥BE，∴∠ABE= 90°-∠BMN.
又∵∠FMN =∠BMF -∠BMN=90°-∠BMN，
∴∠FMN=∠ABE.
∴Rt△FMN≌Rt△ABE.
∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2-+x.           ………………………2分
∴S=(AM+DN)×AD
=(2-+)×4
= -+2x+8.                               ……………………………3分
其中，0≤x＜4.  
【小题2】⑵∵S= -+2x+8= -(x-2)²+10,
∴当x=2时，S_最大=10；            …………………………………………5分
此时，AM=2-×2²="1.5  "            ………………………………………6分
答：当AM=1.5时，四边形AMND的面积最大，为10
【小题3】⑶不能，0＜AM≤2.解析:
略