Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连结BD．

（1）如图1，若BD∶CD＝3∶4，AD＝3，求⊙O的直径 AB的长；

（2）如图2，若E是BC的中点，连结ED，请你判断直线ED与⊙O的位置关系，并证明你的结论

．

Answer 1

解：（1）如图1，∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠ADB=90°． 

则∠CDB=∠ADB=90°．

∴∠C+∠CBD=90°．

∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠CBD=90°．

∴∠C=∠ABD．

∴△ADB∽△BDC．

∴．

∵BD：CD =3：4，AD=3，

∴BD=4．

在Rt△ABD中，． 

（2）直线ED与⊙O相切．

证明：如图2，连结OD．

     由（1）得∠BDC=90°．

        ∵E是BC的中点，

      ∴DE=BE．

∴∠EDB=∠EBD．

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD．

∵∠OBD+∠EBD=90°，

∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°．  

∴ED是⊙O的切线．