Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在边AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，若CG=4，则S_{四边形BCDG}=

 

．

Answer 1

考点：圆内接四边形的性质,全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：先根据在菱形ABCD中，AB=BD判断出△ABD为等边三角形，故可得出∠A的度数，再由菱形的性质求出∠BCD的度数，由三角形外角的性质得出点B、C、D、G四点共圆，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，根据HL定理得出△CBM≌△CDN，由_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}，S_{四边形CMGN}=2S_△CMG即可得出结论．

解答：解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
∴∠BCD=60°，
∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．   
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN，
在Rt△CBM与Rt△CDN中，

CM=CN BC=CD

，
∴△CBM≌△CDN（HL），
∴S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}．
S_{四边形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=

1

2

CG，CM=

3

2

CG，
∴S_{四边形CMGN}=2S_△CMG=2×

1

2

×

1

2

CG×

3

2

CG=

3

4

CG²=

3

4

×16=4

3

．
故答案为：4

3

．

点评：本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．